Question

已知曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數，C₂：

x=6cosθ y=2sinθ

（θ為參數）．
（Ⅰ）C₁、C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）若C₁上的點P對應的參數t=

π

2

，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₃：

x=-3 3 + 3 t y=-3-t

（t為參數）距離的最小值．

Answer 1

考點：圓的參數方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）把所給的參數方程利用同角三角函數的基本關系消去參數，化為普通方程．由普通方程判斷表示的曲線．
（2）設Q（8cosθ，3sinθ），由中點公式求得M的坐標，根據點M到直線C₃ 的距離為  d=

|3cosθ-2+ 3 (sinθ+2)+6 3 |

2

=|

3

sin(θ+

π

3

)+4

3

-1|，當sin（θ+

π

3

）=-1時等號成立，即d取得最小值．

解答： 解：（1）對于曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數），利用同角三角函數的基本關系消去參數t，可得 （x+4）²+（y-3）²=1；表示以（-4，3）為圓心，1為半徑的圓；
對于曲線 C₂：

x=6cosθ y=2sinθ

（θ為參數），利用同角三角函數的基本關系消去參數θ，可得

x2

36

+

y2

4

=1．表示焦點在x軸上的一個橢圓．
（2）若C₁上的點P對應的參數為t=

π

2

，則點P的坐標為（-4，4），
設Q（6cosθ，2sinθ）為C₂上的動點，則PQ中點M（ 3cosθ-2，sinθ+2）．
 直線C₃：

x=-3 3 + 3 t y=-3-t

（t為參數）即 x+

3

y+6

3

=0．
∴點M到直線C₃：x+

3

y+6

3

=0的距離為 d=

|3cosθ-2+ 3 (sinθ+2)+6 3 |

2

=|

3

sin(θ+

π

3

)+4

3

-1|≥3

3

-1．
當sin（θ+

π

3

）=-1時等號成立；所以d的最小值為3

3

-1

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，中點公式、點到直線的距離公式的應用，輔助角公式、正弦函數的最值，屬于中檔題．