Question

18．已知△ABC的頂點A，B在圓x²+y²=4上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（2）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）由AB邊通過坐標原點O，能求出|AB|=4，直線AB的方程為y=x，求出直線AB與l間的距離，由此能求出△ABC的面積．
（2）設直線AB的方程為y=x+m，則|BC|=$\frac{|m-2|}{{\sqrt{2}}}$，由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，能求出邊AC的長最大時，AB所在直線的方程．

解答 解：（1）∵△ABC的頂點A，B在圓x²+y²=4上，C在直線l：y=x+2上，
且AB∥l，AB邊通過坐標原點O時，
∴|AB|=4，------（1分）
此時直線AB的方程為y=x，
∴直線AB與l間的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，------（1分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．------（2分）
（2）設直線AB的方程為y=x+m，
則|BC|=$\frac{|m-2|}{{\sqrt{2}}}$，------（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-4=0①，------（1分）
△=4m²-8（m²-4）＞0，
∴$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，------（1分）
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程①的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-m\\{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{2}\end{array}\right.$------（1分）
∴|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{{m^2}-2（{m^2}-4）}=\sqrt{16-2{m^2}}$------（1分）
∴|AC|²=|AB|²+|BC|²=$-\frac{3}{2}{m^2}-2m+18$------（1分）
當$m=-\frac{2}{3}$時，|AC|²取得最大值，即|AC|取最大值，------（1分）
此時直線AB的方程為$y=x-\frac{2}{3}$．------（1分）

點評 本題考查線段長及三角形面積的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線方程、圓的性質的合理運用．