Question

9．設a為實數，函數f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若$\frac{f（0）}{|a|}$≥1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）的最小值；
（Ⅲ）設函數h（x）=f（x），x∈（a，+∞），請直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若$\frac{f（0）}{|a|}$≥1，則$\frac{-a\left|a\right|}{|a|}$≥1，解得a的取值范圍；
（Ⅱ）結合二次函數的圖象和性質，分類討論，可得f（x）的最小值；
（Ⅲ）設函數h（x）=f（x），x∈（a，+∞），即3x²-2ax+a²-1≥0，分類可得不同情況下不等式h（x）≥1的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{f（0）}{|a|}$≥1，
∴$\frac{-a\left|a\right|}{|a|}$≥1，
即-a≥1，
∴a≤-1；…3分
（Ⅱ）（1）當x≥a時，f（x）=3x²-2ax+a²，函數的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{a}{3}$為對稱軸，
此時，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}f（a），a≥0\\ f（\frac{a}{3}），a＜0\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}2{a}^{2}，a≥0\\ \frac{2{a}^{2}}{3}，a＜0\end{array}\right.$，…5分
（2）當x＜a時，f（x）=x²+2ax-a²，函數的圖象是開口朝上，且以直線x=-a為對稱軸，
此時，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}f（-a），a≥0\\ f（a），a＜0\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}-2{a}^{2}，a≥0\\ 2{a}^{2}，a＜0\end{array}\right.$，…6分
綜上，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}-2{a}^{2}，a≥0\\ \frac{2{a}^{2}}{3}，a＜0\end{array}\right.$；…7分
（Ⅲ）當x∈（a，+∞）時，
由h（x）≥1得：3x²-2ax+a²-1≥0，
∵△=4a²-12（a²-1）=12-8a²，
（1）當△≤0，即a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，x∈（a，+∞）；
（2）當△＞0，即-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，得$\left\{\begin{array}{l}（x-\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}）（x-\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}）≥0\\ x＞a\end{array}\right.$，
綜上：當a∈（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時，解集為：$（a，\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}]∪[\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}，+∞）$，
當a∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]時，解集為：$[\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}，+∞）$，
當a∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）時，解集為：（a，+∞）．…12分．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的最值及其幾何意義，難度中檔．