Question

4．如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}$=n$\overrightarrow{AN}$ （m，n＞0），則m²+n的范圍為[$\frac{7}{4}$，4）．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}$表示出$\overrightarrow{AO}$，根據M，O，N三點共線得出m，n的關系，從而得出m²+n關于m的二次函數，求出m的范圍，利用二次函數的性質求出范圍．

解答 解：∵O是BC的中點，∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\frac{m}{2}\overrightarrow{AM}+\frac{n}{2}\overrightarrow{AN}$，
∵M，O，N三點共線，
∴$\frac{m}{2}+\frac{n}{2}=1$，即n=2-m．
∴m²+n=m²-m+2=（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∵m＞0，n＞0，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2-m＞0}\end{array}\right.$，
∴0＜m＜2．
令f（m）=（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∴當m=$\frac{1}{2}$時，f（m）取得最小值$\frac{7}{4}$，
當m=2時，f（m）取得最大值4．
∴$\frac{7}{4}≤f（m）＜4$．
故答案為：$[{\frac{7}{4}，4}）$．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，二次函數的性質，屬于中檔題．