Question

8．已知二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x-3，且f（0）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=-2x+m，且y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象上方，試確定實數m的范圍．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=2得c=2，由f（x+1）-f（x）=2x-3，得2ax+a+b=2x-3，解方程組求出a，b的值，從而求出函數的解析式；
（2）若y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象上方，則x²-4x+2＞-2x+m恒成立，進而可得實數m的范圍．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=2得c=2，
故f（x）=ax²+bx+2．
因為f（x+1）-f（x）=2x-3，
所以a（x+1）²+b（x+1）+2-（ax²+bx+2）=2x-3．
即2ax+a+b=2x-3，
即2a=2，a+b=-3，
解得：a=1，b=-4，
∴f（x）=x²-4x+2；
（2）若y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象上方，
則x²-4x+2＞-2x+m恒成立，
即m＜x²-2x+2恒成立，
當x=1時，x²-2x+2取最小值1，
故m＜1．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．