Question

19．奇函數f（x）定義域為（-π，0）∪（0，π），其導函數為f′（x）．當0＜x＜π時，有f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，則關于x的不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx的解集是$（-\frac{π}{4}，0）∪（\frac{π}{4}，π）$．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（-π，0）∪（0，π），g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0，0＜x＜π．可得函數g（x）在（0，π）上單調遞減．奇函數f（x）定義域為（-π，0）∪（0，π），因此函數g（x）為偶函數．x∈（0，π），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化為：$\frac{f（x）}{sinx}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$，利用單調性即可解出；x∈（-π，0），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化為：$\frac{f（x）}{sinx}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{sin（-\frac{π}{4}）}$，利用單調性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（-π，0）∪（0，π），
g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0，0＜x＜π．
∴函數g（x）在（0，π）上單調遞減．
奇函數f（x）定義域為（-π，0）∪（0，π），因此函數g（x）為偶函數．
x∈（0，π），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化為：$\frac{f（x）}{sinx}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$，∴π＞$x＞\frac{π}{4}$
x∈（-π，0），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化為：$\frac{f（x）}{sinx}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{sin（-\frac{π}{4}）}$，∴$-\frac{π}{4}＜x＜0$．
綜上可得：x∈：$（-\frac{π}{4}，0）∪（\frac{π}{4}，π）$．
故答案為：$（-\frac{π}{4}，0）∪（\frac{π}{4}，π）$．

點評 本題考查了構造法、利用導數研究函數的單調性、不等式的解法、函數的奇偶性與單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．