Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4（a＞0）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對于任意的a∈[1，4]，都存在x₀∈[2，3]，使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）求函數(shù)的最值，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-a=（x-$\sqrt{a}$）（x+$\sqrt{a}$），
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{a}$]∪[$\sqrt{a}$，+∞），
由f′（x）＜0得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$]．
（Ⅱ）∵a∈[1，4），∴$\sqrt{a}$∈[1，2），
由（1）知，f（x）在（2，3]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（3）=13-3a，
若任意的a∈[1，4），都存在x₀∈（2，3]使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，
等價(jià)為不等式13-3a+e^a+2a＞m成立，即e^a-a+13＞m，
設(shè)g（a）=e^a-a+13，a∈[1，4），
此時(shí)g′（a）=e^a-1≥e-1＞0，
∴當(dāng)a∈[1，4）時(shí)，g（a）＞g（1）=e+12，
故m≤e+12．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．