Question

15．已知函數f（x）=e^x-x．
（1）求f（x）的極小值；
（2）對?x∈（0，+∞），f（x）＞ax恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出函數的極小值即可；
（2）問題轉化為$\frac{e^x}{x}-1＞a$恒成立，令$g（x）=\frac{e^x}{x}-1，x＞0$，求出g（x）的單調區間，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-1

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值1	↗

f（x）的極小值為1．
（2）當x＞0時，$\frac{e^x}{x}-1＞a$恒成立．令$g（x）=\frac{e^x}{x}-1，x＞0$，則$g'（x）=\frac{{{e^x}（{x-1}）}}{x^2}$，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

g（x）_min=g（1）=e-1，實數a的取值范圍是（-∞，e-1）．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．