Question

11．已知圓M的方程為x²+（y-2）²=1，直線l的方程為x-2y=0，點P在直線上，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若點P的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$），求切線PA，PB方程；
（2）求四邊形PAMB面積的最小值；
（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為x=1，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)直線方程為$y=k（x-1）+\frac{1}{2}$，由直線和圓相切，求出$k=-\frac{5}{12}$，由此能求出切線PA，PB方程．
（2）${S_{四邊形PAMB}}=2×\frac{1}{2}×PA×MA=PA=\sqrt{P{M^2}-1}$，當(dāng)PM最小時，四邊形面積最小．由此能求出四邊形PAMB面積的最小值．
（3）設(shè)點P（${x}_{0}，\frac{1}{2}{x}_{0}$），M（0，2），過P，A，M三點的圓即以PM為直徑的圓，由此能求出定點坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為x=1…（2分）
當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)直線方程為$y=k（x-1）+\frac{1}{2}$，
因為直線和圓相切，所以$d=\frac{{|{k+\frac{3}{2}}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=-\frac{5}{12}$，
此時直線方程為y=-$\frac{5}{12}$（x-1）+$\frac{1}{2}$，即5x+12y-11=0，
所以切線PA，PB方程x=1，5x+12y-11=0．…（4分）
（2）${S_{四邊形PAMB}}=2×\frac{1}{2}×PA×MA=PA=\sqrt{P{M^2}-1}$…（6分）
故當(dāng)PM最小時，四邊形面積最小．而$PM≥\frac{{|{0-4}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$
所以四邊形PAMB面積的最小值${S_{min}}=\frac{{\sqrt{55}}}{5}$…（10分）
證明：（3）設(shè)點P（${x}_{0}，\frac{1}{2}{x}_{0}$），M（0，2），
過P，A，M三點的圓即以PM為直徑的圓
即（$\frac{{x}_{0}}{2}$）²+（$\frac{\frac{1}{2}{x}_{0}+2}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（\frac{1}{2}{x}_{0}-2）^{2}}}{2}$）²，…（12分）
所以${x^2}-{x_0}x+{y^2}-（\frac{1}{2}{x_0}+2）y+{x_0}=0$，
從而$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-2y=0\\-x-\frac{1}{2}y+1=0\end{array}\right.$，
解得定點坐標(biāo)為（0，2）或（$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$）．…（16分）

點評 本題考查圓的切線方程、直線方程、四邊形面積的求法，涉及到圓、直線方程、直線與圓相切等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．