Question

2．△ABC，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且$\frac{acosB+bcosA}{c}=2cosC$．
（1）求角C的大小；
（2）若${S_{△ABC}}=2\sqrt{3}$，a=4，求c．

Answer 1

分析 （1）根據正弦定理可得和兩角和正弦公式即可求出答案，
（2）根據三角形的面積公式和余弦定理即可求出．

解答 解：（1）∵$\frac{acosB+bcosA}{c}=2cosC$
∴acosB+bcosA=2ccosC，
由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sin（A+B）=2sinCcosC，
∵0＜c＜π，
∴sinC＞0，
∴$cosC=\frac{1}{2}$，
∴$c=\frac{π}{3}$．
（2）由（1）知$C=\frac{π}{3}$，
∵${S_{△ABC}}=2\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$b=2$\sqrt{3}$，
解得b=2．
∴${c^2}={a^2}+{b^2}-2ab×\frac{1}{2}=12$，
∴$c=2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式以及兩角和的正弦公式，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．