Question

9．在數列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，對任意的n∈N^*，都有a_n+1a_n=a_n-a_n+1成立．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）對任意的n∈N^*，都有a_n+1a_n=a_n-a_n+1成立，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1．利用等差數列的通項公式即可得出．
（II）$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵對任意的n∈N^*，都有a_n+1a_n=a_n-a_n+1成立，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1．
∴數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數列，首項為2，公差為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，∴a_n=$\frac{1}{n+1}$．
（II）$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴其前n項和=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．