Question

2．設S_n為等差數列{a_n}的前n項和，S₁₀=110，S₁₅=240．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$-2，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由由等差數列的前n項和公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=110}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=240}\end{array}\right.$，即可求得a₁和d，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{2n+2}{2n}$+$\frac{2n}{2n+2}$=$\frac{n+1}{n}$+$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+2，采用分組求和，“裂項法”，即可求得數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}公差為d，
由等差數列的前n項和公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=110}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=240}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=22}\\{{a}_{1}+7d=16}\end{array}\right.$

解得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$．
由等差數列的通項公式a_n=2（n-1）+2=2n，
數列{a_n}的通項公式a_n=2n；…（6分）
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{2n+2}{2n}$+$\frac{2n}{2n+2}$=$\frac{n+1}{n}$+$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+2，
T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+2n，
=$\frac{n}{n+1}$+2n，
=$\frac{2{n}^{2}+3n}{n+1}$，
數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{2{n}^{2}+3n}{n+1}$．…（12分）

點評 本題考查等差數列前n項和，考查“裂項法”及分組求和，考查計算能力，屬于中檔題．