Question

11．已知函數f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+6sinxcosx-2cos²x+1．
（1）求f（-$\frac{π}{24}$）的值．
（2）若x∈（0，π）求函數單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）將函數解析式進行化簡，然后把x=-$\frac{π}{24}$代入求值．
（2）根據三角函數的單調性即可求f（x）的單調遞增區間．

解答 解：f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+6sinxcosx-2cos²x+1=2（sin2x-cos2x）=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（1）f（-$\frac{π}{24}$）=2$\sqrt{2}$sin（-$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{4}$）=-2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{3}$=-2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\sqrt{6}$．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
故f（x）的單調遞增區間[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]．k∈Z．
所以當x∈（0，π）時，f（x）的單調增區間是（0，$\frac{3π}{8}$]，[$\frac{7π}{8}$，π）．

點評 本題主要考查三角函數的化簡求值和單調區間的求解，利用三角函數的三角公式將函數化簡是解決本題的關鍵．