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17.已知數列{an}的首項a1=4,前n項和為Sn,且Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設函數f(x)=anx+an-1x2+an-2x3+…+a1xn,f′(x)是函數f(x)的導函數,令bn=f′(1),求數列{bn}的通項公式.

分析 (1)由Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N*).n≥2時可得:Sn-3Sn-1-2n+2=0,兩式相減得:an+1+1=3(an+1),利用等比數列的通項公式即可得出.
(2)f′(x)=an+2an-1x+…+n${a}_{1}{x}^{n-1}$,可得f′(1)=an+2an-1+…+na1=5×[3n-1+2×3n-2+…+(n-1)×3+n]-$\frac{n(n+1)}{2}$.令An=3n-1+2×3n-2+…+(n-1)×3+n,利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出.

解答 解:(1)由Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N*).n≥2時可得:Sn-3Sn-1-2n+2=0,
兩式相減得:an+1-3an-2=0,可得an+1+1=3(an+1),
又由已知a2=14,∴a2+1=3(a1+1),
即數列{an+1}是一個首項為5,公比為3的等比數列,
∴an=5×3n-1-1.
(2)∵f′(x)=an+2an-1x+…+n${a}_{1}{x}^{n-1}$,
∴f′(1)=an+2an-1+…+na1=(5×3n-1-1)+2(5×3n-2-1)+…+n(5×30-1)
=5×[3n-1+2×3n-2+…+(n-1)×3+n]-$\frac{n(n+1)}{2}$.
令An=3n-1+2×3n-2+…+(n-1)×3+n,
則3An=3n+2×3n-1+…+(n-1)×32+n×3,
∴作差得:2An=3n+3n-1+…+32+3-n=$\frac{3({3}^{n}-1)}{3-1}$-n,
∴An=-$\frac{n}{2}$+$\frac{{3}^{n+1}-3}{4}$,
∴f′(1)=$\frac{5×{3}^{n+1}-15}{4}$-$\frac{n(n+6)}{2}$=bn

點評 本題考查了數列的遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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