Question

16．已知函數f（x）=$\frac{lnx+ax+1}{x}$．
（1）若對任意x＞0，f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）有兩個不同的零點x₁，x₂（x₁＜x₂），證明：$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}}$＞2．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，根據導函數判斷函數的單調性，得出函數的最值，進而求出a的范圍；
（2）求出導函數，根據極值點判斷函數的零點位置，對零點分類討論，構造函數，利用放縮法，均值定理證明結論成立．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{lnx+ax+1}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+a+$\frac{1}{x}$．
f''（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在（0，l）上遞增，（1，+∞）上遞減，
∴f（x）≤f（1）=a+1，
∴a+1＜0，∴a＜-1；
（2）證明：由（1）知，兩個不同零點x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
若x₂∈（1，2），則2-x₂∈（0，1），
設g（x）=f（x）-f（2-x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$-$\frac{ln（2-x）}{2-x}$-$\frac{1}{2-x}$，
則當x∈（0，1）時，
g'（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-$\frac{ln（2-x）}{{（2-x）}^{2}}$＞-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-$\frac{ln（2-x）}{{x}^{2}}$=-$\frac{ln（{-（x-1）}^{2}+1]}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（0，1）上遞增，
∴g（x）＜g（1）=0，
∴f（x）＜f（2-x），
∴f（2-x₁）＞f（x₁）=f（x₂），
∴（2-x₁）＜x₂，∴2＜x₁+x₂，
若x₂∈（2，+∞），可知2＜x₁+x₂，顯然成立，
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}}$+x₂≥2$\sqrt{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}}{•x}_{2}}$=2x₁，同理可得$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}}$+x₁≥2x₂，
以上兩式相加得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}}$+x₁+x₂≥2（x₁+x₂），
故：$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}}$≥（x₁+x₂）＞2．

點評 本題考查了導函數的應用，最值問題的轉化思想，難點是對參數的分類討論和均值定理的應用．