Question

5．某公司對新招聘的40名業務人員迸行業務培訓，現按新業務員的年齡（單位：歲）進行分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）培訓中有一個傳球活動：音樂響起，按特定順序開始第1次傳一個球，音樂停時，球在誰手，誰就表演一個節目，表演完畢后，從表演者開始下一次傳球，如此進行3次，若以頻率為概率，且停音樂是隨機的，求至少有2次表演者的年齡在[20，30）的概率；
（2）培訓前決定在年齡在[35，45]的新業務員中任意選出3名小組長，設年齡在[40，45]中選取的人數為X，求隨機變量X的分布列及數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）計算年齡在[20，30）的頻率值，
用頻率表示概率，求出對應的概率值；
（2）任取1人時年齡在[40，45]中被選中的概率，
得出X的可能取值，計算對應的概率值，
寫出分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）年齡在[20，30）的頻率為（0.01+0.07）×5=0.4，
用頻率表示概率，則任抽一次，抽到年齡在[20，30）內的概率為0.4，
進行3次，至少有2次抽到表演者年齡在[20，30）內的概率為
P=${C}_{3}^{2}$•0.4²•0.6+${C}_{3}^{3}$•0.4³=0.352；
（2）從年齡在[35，45]的新業務員中任意選出3名小組長，
任取1人，年齡在[40，45]中被選中的概率是$\frac{1}{3}$，
則隨機變量X的可能取值為0，1，2，3；
且P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•${（1-\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（1-\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{4}{9}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{9}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{1}{27}$，
∴X點分布列為，

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

數學期望為E（X）=0×$\frac{8}{27}$+1×$\frac{4}{9}$+2×$\frac{2}{9}$+3×$\frac{1}{27}$=1．
（或E（X）=3×$\frac{1}{3}$=1）．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是中檔題．