Question

10．某工廠為制定下一階段生產某種產品的方案，工廠技術部門開展了兩項統計，其一是對該廠48名師傅生產的產品精度情況進行了調查，得到如下的2×2列聯表1（單位：個）；其二是對某師傅加工零件個數n₁（單位：個）和加工時間t₁（單位：小時，i-1，2，…6）作了6次試驗，并對獲得的數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值如表2．
表1：48名師傅生產的產品精度統計表（單位：個）

類別	達到精品級	未達到精品級	總計
高級技工	22	6	28
中級技工	10	10	20
總計	32	16	48

表2：

$\overline{n}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{n}_{i}$	$\overline{t}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{t}_{i}$	$\sum_{i=1}^{6}{n}_{i}$ 2	$\sum_{i=1}^{6}{t}_{i}$ 2	$\sum_{i=1}^{6}{n}_{i}{t}_{i}$	$\sum_{i=1}^{6}$（ni-$\overline{n}$）2	$\sum_{i=1}^{6}$（ti-$\overline{t}$）2	$\sum_{i=1}^{6}$（ni-$\overline{n}$）（ti-$\overline{t}$）
4.5	4.125	139	109.562	112.75	17.5	7.468	11.375

（1）判斷是否有95%的把握人物產品達到精品級與師傅的職稱有關？說明你的理由；
（2）根據散點圖判斷t與n是否具有線性相關關系？若具有，依據表中數據求出t關于n的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，并預測該師傅加工10個零件需要多少時間？
附：（1）參考臨界值有：
參考公式：K²=$\frac{m（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中m=a+b+c+d．
（2）對于一組數據（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸線$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$的斜率和截距的最小二乘估計分別為$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據列聯表，計算觀測值K²，對照臨界值得出結論；
（2）根據散點圖中各點分布特征，判斷兩個變量是否有線性相關關系；計算平均數與回歸系數，寫出回歸方程，利用回歸方差計算n=10時$\stackrel{∧}{t}$的值．

解答 解：（1）根據列聯表，計算K²=$\frac{48{×（22×10-10×6）}^{2}}{32×16×28×20}$≈4.286＞3.841，
對照臨界值表，得出有95%的把握認為產品達到精品級與師傅的職稱有關；
（2）根據散點圖中各點成帶狀分布，得出兩個變量具有線性相關關系；
計算$\overline{n}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}$n_i=4.5，$\overline{t}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}$t_i=4.125；
回歸系數為$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{11.375}{17.5}$=0.65，
$\widehat{a}$=$\overline{t}$-$\widehat{b}$$\overline{n}$=4.125-0.65×4.5=1.2，
∴t關于n的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{t}$=0.65n+1.2；
當n=10時，$\stackrel{∧}{t}$=0.65×10+1.2=7.7，
∴預測加工10個零件需要7.7小時．

點評 本題考查了獨立性檢驗與線性回歸方程的應用問題，也考查了推理與計算能力，是中檔題．