Question

18．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=$\sqrt{5}$，D是AB邊上一點，CD=2，△ACD的面積為2，∠ACD為銳角，則BC=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 推導出sin∠ACD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cos∠ACD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由余弦定理得AD=$\sqrt{5}$，由正弦定理，得sinA=$\frac{4}{5}$，由此利用正弦定理能求出BC的長．

解答 解：∵在△ABC中，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=$\sqrt{5}$，D是AB邊上一點，CD=2，
△ACD的面積為2，∠ACD為銳角，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$×sin∠ACD=2，解得sin∠ACD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴cos∠ACD=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=$\sqrt{5+4-2×2×\sqrt{5}×cos∠ACD}$=$\sqrt{5}$，
由正弦定理，得：$\frac{2}{sinA}=\frac{\sqrt{5}}{sin∠ACD}$，解得sinA=$\frac{2×\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，
又$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，∴BC=$\frac{ACsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查三角形邊長的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方思想、數形結合思想，是中檔題．