Question

3．已知函數g（x）=1-cos（πx+ϕ）（0≤ϕ＜π）的圖象過（$\frac{1}{2}$，2），若有4個不同的正數x_i滿足g（x_i）=M（0＜M＜1），且x_i＜4（i=1，2，3，4），則從這四個數中任意選出兩個，它們的和不超過5的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求出g（x）的解析式，作出g（x）的函數圖象，根據圖象的對稱性可得任意兩數之和與5的關系．

解答 解：∵函數g（x）=1-cos（πx+ϕ）（0≤ϕ＜π）的圖象過（$\frac{1}{2}$，2），
∴2=1-cos（$\frac{1}{2}$π+ϕ）=1+sinφ，即sinφ=1，
∵0≤ϕ＜π，∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴g（x）=1-cos（πx+$\frac{π}{2}$）=sin（πx）+1，
∴g（x）的周期為2，作出g（x）的函數圖象如圖所示：

由圖象可知g（x）的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，x=$\frac{5}{2}$，x=$\frac{7}{2}$．
∵有4個不同的正數x_i滿足g（x_i）=M（0＜M＜1），且x_i＜4（i=1，2，3，4），
∴x₁+x₂=3，x₂+x₃=x₁+x₄=5，x₃+x₄=7，x₁+x₃＜x₂+x₃=5，
x₂+x₄＞x₁+x₄＞5，
∴從4個數x_i中任選2個，共有6種選法，
其中和不超過5的選法共有4種，分別是（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₁，x₄），（x₂，x₃），
∴和不超過5的概率為P=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$．
故選D．

點評 本題考查了正弦函數的性質，古典概型的概率計算，屬于中檔題．