Question

12．已知ω為正整數，函數f（x）=sinωxcosωx+${cos^2}ωx-\frac{1}{2}$在區間$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{12}}）$內單調遞增，則函數f（x）（　　）

• A． 最小值為$-\frac{1}{2}$，其圖象關于點$（{\frac{π}{4}，0}）$對稱
• B． 最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其圖象關于直線$x=-\frac{π}{8}$對稱
• C． 最小正周期為2π，其圖象關于點$（{\frac{3π}{4}，0}）$對稱
• D． 最小正周期為π，其圖象關于直線$x=-\frac{3π}{8}$對稱

Answer 1

分析 利用三角函數恒等變換的應用化簡可求f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），由正弦函數的圖象和性質可求ω的值，進而即可得解．

解答 解：∵f（x）=sinωxcosωx+${cos^2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{1+cos2ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
又∵f（x）在在區間$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{12}}）$內單調遞增，
∴由-$\frac{π}{2}$≤2×（-$\frac{π}{3}$）ω+$\frac{π}{4}$，2×$\frac{π}{12}$ω+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，解得：ω≤$\frac{9}{8}$，ω≤$\frac{3}{2}$，
∴由ω為正整數，可得ω=1，f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期為π，故A，C選項錯誤；
∵令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈z，可得當k=-1時，f（x）關于直線x=-$\frac{3π}{8}$對稱．
∴B選項錯誤，D選項正確．
故選：D．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質的應用，考查了數形結合思想，屬于基礎題．