Question

20．（1）已知雙曲線的漸近線為3x+4y=0且經過點（8，3$\sqrt{3}$），求雙曲線的方程；
（2）若（1）中的雙曲線被點A（8，3）平分的弦為MN，求MN所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設雙曲線方程為9x²-16y²=λ，將點（8，3$\sqrt{3}$）代入，即可求得λ的值，即可求得雙曲線的方程；
（2）設直線MN的方程為y-3=k（x-8），代入雙曲線方程，由韋達定理可知x₁+x₂=$\frac{32k（3-8k）}{9-16{k}^{2}}$，由中點坐標公式可知：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=8，即可求得k的值，即可求得直線MN的方程．

解答 解：（1）漸近線方程為3x+4y=0，
設雙曲線方程為9x²-16y²=λ，
將（8，3$\sqrt{3}$）代入9x²-16y²=λ，解得：λ=144，
雙曲線的方程；$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由題意可知：設直線MN的方程為y-3=k（x-8），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3-8k}\\{\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，整理得：（9-16k²）x²-32k（3-8k）x-16（3-8k）²=144，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{32k（3-8k）}{9-16{k}^{2}}$，
弦為MN的中點A（8，3），
由中點坐標公式可知：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=8，
則$\frac{32k（3-8k）}{9-16{k}^{2}}$=16，解得：k=$\frac{3}{2}$，
∴MN所在的直線方程3x-2y-18=0．

點評 本題考查雙曲線方程的求法及簡單幾何性質，看著直線與雙曲線的位置關系，韋達定理及中點坐標公式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．