Question

3．已知命題p：關于x的不等式x²+2ax+4＞0對?x∈R恒成立；命題q：不等式x²-（a+1）x+1≤0的解集是空集．若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則命題p，q一真一假，進而可得實數a的取值范圍．

解答 解：若不等式x²+2ax+4＞0對?x∈R恒成立，
則△=4a²-16＜0，
∴命題p：-2＜a＜2；
若等式x²-（a+1）x+1≤0的解集是空集．
則△=（a+1）²-4＜0，
∴命題q：-3＜a＜1，
∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，
∴命題p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2＜a＜2\\ a≤-3，或a≥1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≤-2，或a≥2\\-3＜a＜1\end{array}\right.$，
綜上可得：a∈（-3，-2]∪[1，2）．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合但，函數恒成立等知識點，難度中檔．