Question

20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上存在一點M，使得|PQ|=|MQ|，其中P（-b，0），Q（b，0），若tan∠MQP=-2$\sqrt{2}$，則雙曲線C的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{41}}{5}$x．

Answer 1

分析 利用條件，求出M的坐標，代入雙曲線方程，即可求出雙曲線C的漸近線方程．

解答 解：設M（n，m），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{n-b}=2\sqrt{2}}\\{{m}^{2}+（n-b）^{2}=4{b}^{2}}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$b，n=$\frac{5}{3}b$，
M代入雙曲線方程可得$\frac{\frac{25}{9}{b}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{32}{9}=1$，∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{41}}{5}$，
∴雙曲線C的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{41}}{5}$x，
故答案為y=±$\frac{\sqrt{41}}{5}$x．

點評 本題考查雙曲線C的漸近線方程，考查方程思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．