Question

12．在極坐標系中，曲線C₁的極坐標方程為ρ=10cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ，現以極點O為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6+2\sqrt{3}t}\\{y=-\sqrt{3}-t}\end{array}\right.$（t為參數）．
（1）求曲線C₁的直角坐標方程和曲線C₂的普通方程；
（2）若曲線C₁、C₂交于A、B兩點，以AB為邊作等邊△ABD，求△ABD外接圓的圓心坐標．

Answer 1

分析 （1）ρ=10cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ⇒ρ²=10ρcosθ-6$\sqrt{3}$ρsinθ⇒x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，
$\left\{\begin{array}{l}{x=6+2\sqrt{3}t}\\{y=-\sqrt{3}-t}\end{array}\right.$（t為參數）消去參數得：x+2$\sqrt{3}$y=0；
（2）聯立x+2$\sqrt{3}$y=0，x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，消去x得y²+2$\sqrt{3}$y=0⇒A（0.0），B（12，-2$\sqrt{3}$）⇒BD=2$\sqrt{39}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{13}$，點D在AB的中垂線上，點D的坐標為（6+$\frac{t}{\sqrt{13}}$，-$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}t}{\sqrt{13}}$），t=±3$\sqrt{13}$

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρ=10cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ⇒ρ²=10ρcosθ-6$\sqrt{3}$ρsinθ⇒x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，
∴曲線C₁的普通方程：x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0；
曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6+2\sqrt{3}t}\\{y=-\sqrt{3}-t}\end{array}\right.$（t為參數）消去參數得：x+2$\sqrt{3}$y=0，
∴曲線C₂的普通方程：x+2$\sqrt{3}$y=0．
（2）聯立x+2$\sqrt{3}$y=0，x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，消去x得y²+2$\sqrt{3}$y=0⇒A（0.0），B（12，-2$\sqrt{3}$）．
等邊△ABD的邊長為：2$\sqrt{39}$，BD=2$\sqrt{39}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{13}$
點D在AB的中垂線上，點D的坐標為（6+$\frac{t}{\sqrt{13}}$，-$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}t}{\sqrt{13}}$），
t=3$\sqrt{13}$時，D（9，5$\sqrt{3}$），此時△ABD外接圓的圓心坐標為（7，$\sqrt{3}$）．
t=-3$\sqrt{13}$時，D（3，-7$\sqrt{3}$），此時△ABD外接圓的圓心坐標為（5，-3$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了題考察了參數方程和極坐標方程與直角坐標方程的互換．利用參數設坐標，求解距離的問題，屬于中檔題．