Question

9．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線BB₁與平面ACD₁所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，找出直線BB₁與平面ACD₁所成角，求解三角形得答案．

解答 解：如圖，
連接BD交AC于O，則BD⊥AC，
∵DD₁⊥底面ABCD，則DD₁⊥AC，
∵BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面D₁DO．
而AC?平面ACD₁，∴平面D₁DO⊥平面ACD₁，
又平面D₁DO⊥平面ACD₁=D₁O，
∴∠DD₁O為直線DD₁與平面ACD₁所成角，
即為直線BB₁與平面ACD₁所成角．
設正方體棱長為a，則DD₁=a，$DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴${D}_{1}O=\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}a$．
在Rt△D₁DO中，cos∠DD₁O=$\frac{D{D}_{1}}{{D}_{1}O}=\frac{a}{\frac{\sqrt{6}}{2}a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查直線與平面所成角，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．