Question

19．已知等比數列{a_n}和等差數列{b_n}均是首項為2，各項為正數的數列，且b₂=4a₂，a₂b₃=6．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求使a${\;}_{{b}_{n}}$＜0.001成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等比數列與等差數列的通項公式即可得出．
（2）由（1）得a_bn=a_2n=$（\frac{1}{2}）^{2n-2}$，利用a_bn＜0.001，化簡即可得出．

解答 解：（1）設{a_n}的公比為q，{b_n}的公差為d，d＞0．
∵b₂=4a₂，a₂b₃=6．∴2+d=4×2q，2q×（2+2d）=6，
解得d=2，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-2}$，b_n=2+2（n-1）=2n．
（2）由（1）得a_bn=a_2n=$（\frac{1}{2}）^{2n-2}$，
∵a_bn＜0.001，
即$（\frac{1}{2}）^{2n-2}$＜0.001，∴2^2n-2＞1 000，∴2n-2≥10，
即n≥6，∴滿足題意的正整數n的最小值為6．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．