Question

10．已知銳角△ABC中的三個內角分別為A，B，C．
（1）設$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$，判斷△ABC的形狀；
（2）設向量$\overrightarrow s=（2sinC，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow t=（cos2C，2{cos^2}\frac{C}{2}-1）$，且$\overrightarrow s∥\overrightarrow t$，若$sinA=\frac{1}{3}$，求$sin（\frac{π}{3}-B）$的值．

Answer 1

分析 （1）因為$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{CA}•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}）=0$，利用向量的線性運算可得所以${\overrightarrow{AB}^2}-{\overrightarrow{BC}^2}=0$即可得到三角形為等腰三角形；
（2）因為$\overrightarrow{s}$∥$\overrightarrow{t}$化簡可得到tan2C=-$\sqrt{3}$，求出C角，充分利用角之間關系以及三角函數化簡，
即可求出sin（$\frac{π}{3}$-B）；

解答 解：（1）因為$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{CA}•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}）=0$，
又$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow 0$，∴$\overrightarrow{CA}=-（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$，
所以$-（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}）=0$，
所以${\overrightarrow{AB}^2}-{\overrightarrow{BC}^2}=0$，
所以$|\overrightarrow{AB}{|^2}=|\overrightarrow{BC}{|^2}$，即$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$，
故△ABC為等腰三角形．
（2）∵$\overrightarrow s∥\overrightarrow t$，
∴$2sinC（2{cos^2}\frac{C}{2}-1）=-\sqrt{3}cos2C$，
∴$sin2C=-\sqrt{3}cos2C$，即$tan2C=-\sqrt{3}$，
∵C為銳角，∴2C∈（0，π），
∴$2C=\frac{2π}{3}$，∴$C=\frac{π}{3}$，
∴$A=\frac{2π}{3}-B$，
∴$sin（\frac{π}{3}-B）=sin[{（\frac{2π}{3}-B）-\frac{π}{3}}]$=$sin（A-\frac{π}{3}）$，
又$sinA=\frac{1}{3}$，且A為銳角，
∴$cosA=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴$sin（\frac{π}{3}-B）=sin（A-\frac{π}{3}）=sinAcos\frac{π}{3}-cosAsin\frac{π}{3}=\frac{{1-2\sqrt{6}}}{6}$．

點評 本題主要考查了向量的基本線性運算，三角函數化簡與解三角形知識點，屬中等題．