Question

15．已知直線l過定點A（2，-1），圓C：x²+y²-8x-6y+21=0．
（1）若l與圓C相切，求l的方程；
（2）若l與圓C交于M，N兩點，求△CMN面積的最大值，并求此時l的直線方程．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用圓心C（4，3）到已知直線l的距離等于半徑2，即可求l的方程；
（2）若l與圓C交于M，N兩點，求△CMN面積，利用配方法求出最大值，即可求此時l的直線方程．

解答 解：（1）將圓的一般方程化為標準方程，得（x-4）²+（y-3）²=4，∴圓心C（4，3），半徑r=2．
①若直線l的斜率不存在，則直線 x=2，符合題意．
②若直線l的斜率存在，設直線l：y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．
∵l與圓C相切，∴圓心C（4，3）到已知直線l的距離等于半徑2，即$\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$．
綜上，所求直線方程為x=2或3x-4y-10=0．
（2）直線與圓相交，斜率必定存在，設直線方程為kx-y-2k-1=0，則圓心到直線l的距離$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
又∵△CMN面積$S=\frac{1}{2}•d•2\sqrt{4-{d^2}}=\sqrt{4{d^2}-{d^4}}=\sqrt{-{{（{{d^2}-2}）}^2}+4}$，
∴當$d=\sqrt{2}$時，S_max=2，
由$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，解得k=1或k=7，
∴直線方程為x-y-3=0或7x-y-15=0．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，體現分類討論的數學思想，屬于中檔題．