Question

14．設F₁，F為橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1，（a₁＞b₁＞0）與雙曲線C₂的公共左、右焦點，它們在第一象限內交于點M，△MF₁F₂是以線段MF₁為底邊的等腰三角形，且|MF₁|=2，若橢圓C₁的離心率e∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，則雙曲線C₂的離心率的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{3}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，++∞）
• C． （1，4]
• D． [$\frac{3}{2}$，4]

Answer 1

分析 如圖所示，設雙曲線C₂的離心率為e₁，橢圓與雙曲線的半焦距為c．由橢圓的定義及其題意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．由雙曲線的定義可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，可得$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，利用e∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，即可得出雙曲線C₂的離心率的取值范圍．

解答 解：如圖所示，
設雙曲線C₂的離心率為e₁．
橢圓與雙曲線的半焦距為c．
由橢圓的定義及其題意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．
由雙曲線的定義可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，
∴$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，
∵e∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，∴$\frac{1}{e}$∈[$\frac{9}{4}$，$\frac{8}{3}$]，
∴$\frac{1}{{e}_{1}}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3}$]．
∴e₁∈[$\frac{3}{2}$，4]．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．