Question

2．已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，線段MA的垂直平分線交MC于點N，設點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E方程；
（2）若經過F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點G，H（點G在點F，H之間），且滿足$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：丨NC丨=r-丨NM丨，丨NC丨+丨NM丨=r=2$\sqrt{2}$＞丨AC丨，點N的軌跡是以A、C 為焦點的橢圓，2a=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，c=1，橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：設直線GH的方程為：y=kx+2，代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4k}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，由$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$，求得x₁=$\frac{3}{5}$x₂，代入即可求得k²=2＞$\frac{3}{2}$，即可求得直線方程，當直線GH斜率不存在時，不符合題意．

解答 解：（1）設點N的坐標為（x，y），
NP是線段AM的垂直平分線，
又點N在CM上，圓C：（x+1）²+y²=8，半徑是 r=2$\sqrt{2}$，
∴丨NC丨=r-丨NM丨，
∴丨NC丨+丨NM丨=r=2$\sqrt{2}$＞丨AC丨，
∴點N的軌跡是以A、C 為焦點的橢圓，
設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴2a=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，c=1，
由b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴曲線E方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
當直線GH斜率存在時，設直線GH的斜率為k
則直線GH的方程為：y=kx+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（$\frac{1}{2}$+k²）x²+4kx+3=0，
由△＞0，解得：k²＞$\frac{3}{2}$，
x₁+x₂=-$\frac{4k}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，
又∵$\overrightarrow{FG}$=（x₁，y₁-2），$\overrightarrow{FH}$=（x₂，y₂-2），
∵$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$，
∴x₁=$\frac{3}{5}$x₂，
整理得：$\frac{3}{5}$•（-$\frac{5k}{1+2{k}^{2}}$）²=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$，即k²=2＞$\frac{3}{2}$，
解得：k=±$\sqrt{2}$，
∴直線l的方程為：y=±$\sqrt{2}$x+2，
當直線GH斜率不存在時，直線的l方程為x=0，
$\overrightarrow{FG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FH}$與$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$矛盾，
故直線GH斜率不存在時，直線方程不成立，
∴直線l的方程為：y=±$\sqrt{2}$x+2．

點評 本題考查橢圓的標準方程及橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量的坐標運算，考查分類討論思想，屬于中檔題．