Question

4．某網店經營的一種商品進價是每件10元，根據一周的銷售數據得出周銷量P（件）與單價x（元）之間的關系如圖折線所示，該網店與這種商品有關的周開支均為25元．
（I）根據周銷量圖寫出周銷量P（件）與單價x（元）之間的函數關系式；
（Ⅱ）寫出周利潤y（元）與單價x（元）之間的函數關系式；當該商品的銷售價格為多少元時，周利潤最大？并求出最大周利潤．

Answer 1

分析 （I）根據函數圖象，求出解析式，即可寫出周銷量P（件）與單價x（元）之間的函數關系式；
（Ⅱ）分段求出最值，即可得出結論．

解答 解：（I）當x∈[12，20]時，P=k₁x+b₁，代入點（12，26），（20，10）得k₁=-2，b₁=50，∴P=-2x+50；
同理x∈（20，28]時，P=-x+30，
∴周銷量P（件）與單價x（元）之間的函數關系式P=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+50，12≤x≤20}\\{-x+30，20＜x≤28}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）y=P（x-10）-25=$\left\{\begin{array}{l}{（-2x+50）（x-10）-25，12≤x≤20}\\{（-x+30）（x-10），20＜x≤28}\end{array}\right.$，
當x∈[12，20]時，y=$-2（x-\frac{35}{2}）^{2}+\frac{175}{2}$，x=$\frac{35}{2}$時，y_max=$\frac{175}{2}$；
x∈（20，28]時，y=-（x-20）²+75，函數單調遞減，∴y＜75，
綜上所述，x=$\frac{35}{2}$時，y_max=$\frac{175}{2}$．

點評 本題考查分段函數及運用，考查分段函數的最值，應考慮各段的最值，考查運算能力，屬于中檔題．