Question

14．已知拋物線y=4x²，過點P（0，2）作直線l，交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，
（Ⅰ）求證：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$為定值；
（Ⅱ）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設過點P（0，2）的直線l：y=kx+2，聯立直線與拋物線方程，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，求解$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$為定值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用弦長公式以及原點到直線l的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，表示三角形的面積，然后求解最小值即可．

解答 證明：（Ⅰ）設過點P（0，2）的直線l：y=kx+2，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=4{x^2}}\end{array}}\right.$得，4x²-kx-2=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴${x_1}+{x_2}=\frac{k}{4}，{x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}$，y₁y₂=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$為定值．------（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$|AB|=|{x_1}-{x_2}|\sqrt{1+{k^2}}=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}\sqrt{1+{k^2}}$=$\frac{1}{4}\sqrt{{k^2}+1}\sqrt{32+{k^2}}$，
原點到直線l的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×|AB|×d=4\sqrt{{k^2}+2}≥\sqrt{2}$
當k=0時，三角形AOB的面積最小，最小值是$\sqrt{2}$------（12分）

點評 本題考查拋物線的簡單性質的應用，直線與拋物線的位置關系，考查轉化思想以及計算能力．