Question

3．已知函數f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），最小正周期為π
（1）求ω的值；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再將所得圖象各點的橫坐標縮小為原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖象，求g（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數的周期性，求得ω的值．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，再根據正弦函數的單調性，求得g（x）的單調區間．

解答 解：（1）由于函數f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
（2）將函數f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，
可得y=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的圖象，
再將所得圖象各點的橫坐標縮小為原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），
得到函數g（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）的圖象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{7π}{24}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{24}$，
故函數g（x）的增區間為[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{7π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{24}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{24}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{24}$，
故函數g（x）的增區間為[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{24}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的周期性、單調性，屬于基礎題．