Question

11．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），且滿足$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$+$\sqrt{2}$sin²$\frac{β}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin（2017π-α）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{5}{2}$π-β），則α+β=$\frac{5}{12}$π．

Answer 1

分析 由二倍角公式的變形、誘導公式化簡已知的式子，利用平方關系、α和β的范圍、特殊角的三角函數值求出α和β的值，可得α+β的值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$+$\sqrt{2}$sin²$\frac{β}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cosα）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cosβ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ=0，即$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ，①
∵sin（2017π-α）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{5}{2}$π-β），
∴sin（π-α）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{1}{2}$π-β），
則sinα=$\sqrt{2}$sinβ，②
①²+②²得，3cos²α+sin²α=2，
則$co{s}^{2}α=\frac{1}{2}$，
由α∈（0，$\frac{π}{2}$）得cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則α=$\frac{π}{4}$，
代入②可得，sinβ=$\frac{1}{2}$，
由β∈（0，$\frac{π}{2}$）得β=$\frac{π}{6}$，
∴α+β=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{12}$，
故答案為：$\frac{5π}{12}$．

點評 本題考查二倍角公式的變形、誘導公式，三角函數值的符號，以及平方關系的應用，考查化簡、變形能力．