Question

2．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，設(shè)A₁D₁中點為M，CD的中點為N，若∠A₁AD=∠A₁AB=∠BAD=60°且AA₁=AB=AD=1，則|AC₁|=$\sqrt{6}$，若$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，則x+y+z=0．

Answer 1

分析 ①$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}$+$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$，即可得出．
②$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$-$（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，與$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$比較即可得出．

解答 解：①$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}$+$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=3+2×3×cos60°=6，
解得$|\overrightarrow{A{C}_{1}}|$=$\sqrt{6}$．
②$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$-$（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
與$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$比較可得：x=$\frac{1}{2}$=y，z=-1．
則x+y+z=0．
故答案為：$\sqrt{6}$，0．

點評 本題考查了向量三角形法則、平行四邊形法則、平面向量基本定理、向量共線定理、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．