Question

11．圓x²+（y-1）²=4上點到曲線f（x）=-x³+3x²在點（1，f（1））處的切線的最遠距離為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• B． $\frac{10+\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{10-\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{10+2\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 求出曲線f（x）=-x³+3x²在點（1，f（1））處的切線方程，圓心（0，1）到直線的距離，即可得出結論．

解答 解：由題意，f′（x）=-3x²+6x，∴f′（1）=3，
又f（1）=2，∴曲線f（x）=-x³+3x²在點（1，f（1））處的切線方程為3x-y-1=0，
圓心（0，1）到直線的距離為$\frac{2}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴圓x²+（y-1）²=4上點到曲線f（x）=-x³+3x²在點（1，f（1））處的切線的最遠距離為2+$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故選：B．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．