Question

15．區間[x₁，x₂]的長度為x₂-x₁．已知函數y=4^|x|的定義域為[a，b]，值域為[1，4]，則區間[a，b]長度的最大值與最小值之差為1．

Answer 1

分析 根據題意可知當x≥0時，函數的定義域為[0，1]；當x≤0時，函數的定義域為[-1，0]．所以函數的定義域為[-1，1]此時長度為最大等于1-（-1）=2，而[0，1]或[-1，0]都可為區間的最小長度等于1，所以最大值與最小值的差為1．

解答 解：當x≥0時，y=4^x，因為函數值域為[1，4]即1=4⁰≤4^x≤4=4¹，根據指數函數的增減性得到0≤x≤1；
當x≤0時，y=4^-x，因為函數值域為[1，4]即1=4⁰≤4^-x≤4=4¹，根據指數函數的增減性得到0≤-x≤1即-1≤x≤0．
故[a，b]的長度的最大值為1-（-1）=2，最小值為1-0=1或0-（-1）=1，
則區間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為1，
故答案為：1．

點評 考查學生理解掌握指數函數定義域和值域的能力，運用指數函數圖象增減性解決數學問題的能力．