Question

7．平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=2sinφ\end{array}$（φ為參數）（a＞0）．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相等的長度單位建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為：2ρcosθ+3ρsinθ-8=0．已知曲線C₁與曲線C₂的一個交點在x軸上．
（1）求a的值及曲線C₁的普通方程；
（2）已知點A，B是極坐標方程θ=α，θ=α+$\frac{π}{2}$的兩條射線與曲線C₁的交點，求$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=2sinφ\end{array}$（φ為參數）（a＞0），已知曲線C₁與曲線C₂的一個交點在x軸上，求a的值，即可求出曲線C₁的普通方程；
（2）化點A，B的極坐標為直角坐標后代入曲線C₁的直角坐標方程，整理后即可得到$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$的值．

解答 解：（1）曲線C₂的極坐標方程為：2ρcosθ+3ρsinθ-8=0，直角坐標方程為2x+3y-8=0，
令y=0，可得x=4，
∵曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=2sinφ\end{array}$（φ為參數）（a＞0），已知曲線C₁與曲線C₂的一個交點在x軸上．
∴$\left\{\begin{array}{l}{acosφ=4}\\{2sinφ=0}\end{array}\right.$，∴a=4，
∴曲線C₁的普通方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）由題意得點A，B的直角坐標分別為（ρ₁cosα，ρ₁sinα），（ρ₂cos（α+$\frac{π}{2}$），ρ₂sin（α+$\frac{π}{2}$））．
∵點A，B在曲線C₁ 上，
∴$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{16}+\frac{{{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$=1，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{16}+\frac{{{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$=1．
∴$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{16}+\frac{si{n}^{2}θ}{4}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{16}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$=$\frac{5}{16}$．

點評 本題考查了圓的參數方程，簡單曲線的極坐標方程，考查了數學轉化與化歸的思想方法，訓練了三角函數的誘導公式，是中檔題．