Question

7．已知圓F₁：（x+1）²+y²=1，圓F₂：（x-1）²+y²=25，若動圓C與圓F₁外切，且與圓F₂內切，求動圓圓心C的軌跡方程．

Answer 1

分析 根據兩圓的方程，算出它們的圓心與半徑，設動圓的半徑為R，根據兩圓相切的性質證出：|F₁C|+|F₂C|=r₁+r₂=1+5=6（定值），從而得到圓心C在以F₁、F₂為焦點的橢圓上運動，結合題意算出a、b之值，可得動圓圓心的軌跡方程．

解答 解：∵圓F₁的方程為：（x+1）²+y²=1，
∴圓F₁的圓心為（-1，0），半徑r₁=1；同理圓R₂的圓心為（1，0），半徑r₂=5．
設動圓的半徑為R，則|F₁C|=r₁+R，|F₂C|=r₂-R，
兩式相加得：|F₁C|+|F₂C|=r₁+r₂=1+5=6（定值），
∴圓心C在以F₁、F₂為焦點的橢圓上運動，
由2a=6，c=2，得a=3，b=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
即動圓圓心C的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

點評 本題求動點的軌跡方程，著重考查了圓的標準方程、圓與圓的位置關系、平行線之間的距離公式，屬于中檔題．