Question

19．設函數f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）求曲線f（x）過點（1，0）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求導f（x）導數，可得極值點，導數大于0可得增區間；導數小于0可得減區間；進而得到極值；
（2）設切點為（m，n），可得切線的斜率，切線方程，代入（1，0），解方程可得切點，進而得到所求切線方程．

解答 解：（1）f'（x）=3（x²-2），
令f'（x）=0，得${x_1}=-\sqrt{2}，{x_2}=\sqrt{2}$，
∴當$x＜-\sqrt{2}$或$x＞\sqrt{2}$時，f'（x）＞0；
當$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$時，f'（x）＜0，
∴f（x）的單調遞增區間是$（{-∞，-\sqrt{2}}）$和$（{\sqrt{2}，+∞}）$，
單調遞減區間是$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$；
當x=-$\sqrt{2}$，f（x）有極大值5+4$\sqrt{2}$；當x=$\sqrt{2}$，f（x）有極小值5-4$\sqrt{2}$；
（2）設切點為（m，n），
則切線的斜率為3（m²-2），
切線的方程為y-（m³-6m+5）=3（m²-2）（x-m），
代入（1，0），可得-（m³-6m+5）=3（m²-2）（1-m），
化為（m-1）²（2m+1）=0，
解得m=1或m=-$\frac{1}{2}$，
則斜率為-3或-$\frac{21}{4}$，
可得切線的方程為y=-3x+3或y=-$\frac{21}{4}$x+$\frac{21}{4}$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間、極值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．