Question

2．（1）求函數y=2x+4$\sqrt{2-x}$，x∈[0，2]的值域；
（2）化簡：$\frac{\sqrt{1-2sin40°cos40°}}{cos40°-\sqrt{1-co{s}^{2}40°}}$．

Answer 1

分析 （1）設$\sqrt{2-x}=t$，則$x=2-{t^2}，t∈[0，\sqrt{2}]$，原函數可化為y=-2t²+4t+4，$t∈[0，\sqrt{2}]$，再由二次函數的性質即可得原函數的值域；
（2）利用同角三角函數間的基本關系以及三角函數的誘導公式化簡得答案．

解答 解：（1）設$\sqrt{2-x}=t$，則$x=2-{t^2}，t∈[0，\sqrt{2}]$
原函數可化為y=-2t²+4t+4，$t∈[0，\sqrt{2}]$
當t=0時，y取得最小值4；當t=1時，y取得最大值6．
∴原函數的值域為[4，6]；
（2）$\frac{\sqrt{1-2sin40°cos40°}}{cos40°-\sqrt{1-co{s}^{2}40°}}$=$\frac{\sqrt{si{n}^{2}40°+co{s}^{2}40°-2sin40°cos40°}}{cos40°-\sqrt{si{n}^{2}40°}}$
=$\frac{|cos40°-sin40°|}{cos40°-|sin40°|}$=$\frac{cos40°-sin40°}{cos40°-sin40°}$=1．

點評 本題考查了三角函數的化簡求值，考查了二次函數的性質，是中檔題．化簡$\sqrt{1-2sin40°cos40°}$