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15.已知函數(shù)f(x)=a-$\frac{1}{x}$-lnx.
(1)若a=2,求函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)=0恰有一個解,求a的值.

分析 (1)導數(shù)值即為該點處的斜率,點斜式可得切線方程.
(2)f(x)max=f(1)=a-1,分類討論,即可求得a的值.

解答 解:(1)∵a=2,∴f(1)=1.
∵f′(x)=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$,∴f′(1)=0,
∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=1;
(2)f′(x)=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$,∴f′(x)=0,x=1,
0<x<1,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;
x>1,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
∴f(x)max=f(1)=a-1.
①f(x)max=0,a=1時,最大值點唯一,符合題意;
②f(x)max<0,即a<1,f(x)<0恒成立,符合題意;
③f(x)max>0,即a>1,ea>1f(ea)=-e-a<0,
∵e-a<1,f(e-a)=2a-ea≤ea-ea<0,則f(x)有兩個零點,不符合題意
綜上所述,a=1.

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用,函數(shù)的極值以及切線方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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