Question

4．某校為評估新教改對教學的影響，挑選了水平相當的兩個平行班進行對比試驗．甲班采用創新教法，乙班仍采用傳統教法，一段時間后進行水平測試，成績結果全部落在[60，100]區間內（滿分100分），并繪制頻率分布直方圖如右圖，兩個班人數均為60人，成績80分及以上為優良．

（1）根據以上信息填好下列2×2聯表，并判斷出有多大的把握認為學生成績優良與班級有關？

是否 優良 班級	優良 （人數）	非優良 （人數）	合計
甲
乙
合計

（2）以班級分層抽樣，抽取成績優良的5人參加座談，現從5人中隨機選3人來作書面發言，求發言人至少有2人來自甲班的概率．

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.010
k	2.706	3.841	6.635

（以下臨界值及公式僅供參考${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據題意，填寫列聯表，計算K²，對照臨界值得出結論；
（2）根據分層抽樣原理，利用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值．

解答 解：（1）根據題意，填寫列聯表如下；

是否 優良 班級	優良 （人數）	非優良 （人數）	合計
甲	30	30	60
乙	20	40	60
合計	50	70	120

計算${K^2}=\frac{{120×{{（30×40-30×20）}^2}}}{60×60×50×70}=\frac{24}{7}≈3.43＞2.706$，
則有90%的把握認為學生成績優良與班級有關；
（2）分層抽樣甲班抽取了3人，記作A₁，A₂，A₃，
乙班抽取了2人，記作B₁，B₂，
從中任意抽取3人，有
A₁A₂A₃，A₁A₂B₁，A₁A₂B₂，A₁A₃B₁，
A₁A₃B₂，A₁B₁B₂，A₂A₃B₁，A₂A₃B₂，
A₂B₁B₂，A₃B₁B₂10種情形，
其中至少有2人來自甲班的有7種情形，
則至少有2人來自甲班的概率為P=$\frac{7}{10}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗和列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題．