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3.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且b=1,ccosAcosC=csin(A+B)sinA-sinC
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面積為$\frac{1}{2}$,求sinA+sinC的值.

分析 (1)由正弦定理,兩角和的余弦函數公式,三角形內角和定理,同角三角函數基本關系式,結合sinC≠0,可求tanB=1,結合范圍B∈(0,π),可得B的值.
(2)由三角形面積公式可求ac=$\sqrt{2}$,由余弦定理可得a+c=$\sqrt{2}+1$,進而利用正弦定理化簡所求即可計算得解.

解答 解:(1)∵b=1,ccosAcosC=csin(A+B)sinA-sinC=csinCsinA-bsinC,
∴由正弦定理可得:sinCcosAcosC=sinCsinCsinA-sinBsinC,
∵C∈(0,π),sinC≠0,
∴cosAcosC=sinCsinA-sinB,可得sinB=sinCsinA-cosAcosC=-cos(A+C)=cosB,
∵B∈(0,π),可得:tanB=1,可得:B=$\frac{π}{4}$.
(2)∵B=$\frac{π}{4}$,△ABC的面積為$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×ac×\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴解得:ac=$\sqrt{2}$,
∴由余弦定理可得:b2=1=a2+c2-2×$a×c×\frac{\sqrt{2}}{2}$=a2+c2-2
=(a+c)2-2ac-2=(a+c)2-2$\sqrt{2}$-2,
∴a+c=$\sqrt{2}+1$,
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$,
∴sinA+sinC=$\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{a+c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點評 本題主要考查了正弦定理,兩角和的余弦函數公式,三角形內角和定理,同角三角函數基本關系式,三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(1)根據以上信息填好下列2×2聯表,并判斷出有多大的把握認為學生成績優良與班級有關?
是否
優良
班級
優良
(人數)
非優良
(人數)
合計
合計
(2)以班級分層抽樣,抽取成績優良的5人參加座談,現從5人中隨機選3人來作書面發言,求發言人至少有2人來自甲班的概率.
P(K2≥k)0.100.050.010
k2.7063.8416.635
(以下臨界值及公式僅供參考${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,n=a+b+c+d)

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