Question

【題目】已知函數.

(1)討論函數的單調性;

(2)當時，若曲線與曲線存在唯一的公切線，求實數的值;

(3)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1），分和討論函數的單調性；

（2）曲線，曲線，設該公切線與分別切于點，顯然，利用導數的幾何意義和兩點間的斜率公式求得，解得，

問題等價于直線與曲線在時有且只有一個公共點，利用導數求的值域；

（3）問題等價于不等式，當時恒成立，設，先求，再求，分和兩種情況討論函數的最小值，判斷是否成立.

解:(1)，

當時，恒成立，在上單調遞減，

當時，由，解得，

由于時，導函數單調遞增，

故，單調遞減，

單調遞增.

綜上，當時在上單調遞減;

當時， 在上單調遞減，在上單調遞增. .

(2)曲線與曲線存在唯一公切線，設該公切線與分別切于點，顯然.

由于，

所以，

，

由于，故，且

因此，

此時，

設

問題等價于直線與曲線在時有且只有一個公共點，

又，令，解得，

則在上單調遞增，上單調遞減，

而，當時，

所以的值域為.

故.

(3)當時，，問題等價于不等式

，當時恒成立.

設，，

又設

則

而.

(i)當時，即時，

由于，

此時在上單調遞增.

所以

即，所以在上單調遞增

所以，

即，

故適合題意.

(ii)當時，，

由于在上單調遞增，

令，

則，

故在上存在唯一，使，

因此當時，單調遞減，

所以，

即在上單調遞減，

故，

亦即，

故時不適合題意，

綜上，所求的取值范圍為.