Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx+ax2+ax．

（1）若曲線y＝f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y＝4x+1平行，求實數a的值；

（2）若時，關于x的方程在（0，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝1．（2）[ln2﹣5，）．

【解析】

（1）求導后，進行求解；（2）分離參數通過畫出新函數圖象，根據直線和函數圖象有兩個交點求出實數b的取值范圍.

（1）由題意，f′（x）2ax+a，x＞0．

根據題意，有f′（1）＝3a+1＝4，

解得a＝1．

（2）由題意，f（x）＝lnxx2x，

則lnxx2xx+b，

即b＝lnxx2x，

令g（x）＝lnxx2x，x＞0．則

g′（x）x．

令g′（x）＝0，解得x＝1，或x＝2；

令g′（x）＞0，解得0＜x＜1，或x＞2；

令g′（x）＜0，解得1＜x＜2．

∴函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，

在x＝1處取得極大值g（1），

在x＝2處取得極小值g（2）＝ln2﹣5．

故函數g（x）在（0，2]上大致圖象如下：

根據題意及圖，可知

實數b的取值范圍為：[ln2﹣5，）．