Question

【題目】對于定義域為R的函數，若函數是奇函數，則稱為正弦奇函數.已知 是單調遞增的正弦奇函數，其值域為R，.

（1）已知是正弦奇函數，證明：“為方程的解”的充要條件是“為方程的解”；

（2）若，求的值；

（3）證明：是奇函數.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據正弦奇函數的定義，結合充要條件的定義，分別證明必要性和充分性，可得結論；

（2）由是單調遞增的正弦奇函數，，可得a，b互為相反數，進而得到答案.

（3）根據是單調遞增的正弦奇函數，其值域為R，得到：，可得結論.

證明（1）是正弦奇函數，

故是奇函數，

當：“為方程的解”時，，

則，

即“為方程的解”；

故：“為方程的解”的必要條件是“為方程的解”；

當：“為方程的解”時，，

則，

即“為方程的解”；

故：“為方程的解”的充分條件是“為方程的解”；

綜上可得：“為方程的解”的充要條件是“為方程的解”；

解：（2）是單調遞增的正弦奇函數，

，

則，

則，

則

證明：（3）是單調遞增的正弦奇函數，其值域為R，.

故，

即，

，故是奇函數.