【題目】如果一個四面體的三個面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；（2）銳角三角形；（3）鈍角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形.那么可能成為這個四面體的第四個面是_____.（填上你認為正確的序號）
【答案】（1）（2）（4）（5）
【解析】
畫出圖像，根據四面體有三個面是直角三角形，結合圖像，由此確定正確說法的序號.
一個四面體的三個面是直角三角形，畫出圖像如圖所示.
在長方體
中，
是有三個面是直角三角形的四面體.
當長方體的邊長都相等時，三角形
的邊長也相等，為等比三角形，所以（2）（4）正確.
在長方體中，
是有四個面是直角三角形的四面體.當
時，
為等腰直角三角形.
所以（1）（5）正確.
在長方體中，
是有三個面是直角三角形的四面體.設
，則
，
任意兩邊的平方和，都大于第三邊的平方，根據余弦定理可知
不是鈍角三角形.結合上述分析可知，第四個面不可能是鈍角三角形，所以（3）錯誤.
故答案為：（1）（2）（4）（5）.
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【題目】如圖，在圓臺
中，平面
過上下底面的圓心
，
，點M在
上，N為
的中點，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）當
時，
與底面
所成角的正弦值為
，求二面角
的余弦值.
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【題目】對于定義域為R的函數
，若函數
是奇函數，則稱為正弦奇函數.已知
是單調遞增的正弦奇函數，其值域為R，
.
（1）已知是正弦奇函數，證明：“
為方程
的解”的充要條件是“
為方程
的解”；
（2）若
，求
的值；
（3）證明：是奇函數.
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【題目】為了鼓勵職員工作熱情，某公司對每位職員一年來的工作業績按月進行考評打分；年終按照職員的月平均值評選公司最佳職員并給予相應獎勵.已知職員
一年來的工作業績分數的莖葉圖如圖所示：
（1）根據職員的業績莖葉圖求出他這一年的工作業績的中位數和平均數；
（2）由于職員的業績高，被公司評為年度最佳職員，在公司年會上通過抽獎形式領取獎金.公司準備了六張卡片，其中一張卡片上標注獎金為6千元，兩張卡片的獎金為4千元，另外三張的獎金為2千元.規則是：獲獎職員需要從六張卡片中隨機抽出兩張，這兩張卡片上的金額數之和作為獎金數.求職員獲得獎金6千元的概率；并說明獲得獎金6千元和8千元哪個可能性較大？
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【題目】已知等差數列{bn}的前n項和為Tn，且T4=4，b5=6.
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）若正整數n1，n2，…，nt，…滿足5＜n1＜n2＜…＜nt，…且b3，b5，
，
，…，
，…成等比數列，求數列{nt}的通項公式（t是正整數）；
（3）給出命題：在公比不等于1的等比數列{an}中，前n項和為Sn，若am，am+2，am+1成等差數列，則Sm，Sm+2，Sm+1也成等差數列.試判斷此命題的真假，并證明你的結論.
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【題目】在圓
上任取一點
，過點作
軸的垂線段
，
為垂足，當點在圓上運動時，點
在線段上，且
，點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過拋物線
：
的焦點
作直線
交拋物線于
，
兩點，過且與直線垂直的直線交曲線于另一點
，求
面積的最小值，以及取得最小值時直線的方程.
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【題目】2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準備投入到“魅力城市”的建設之中.某投資公司準備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中.
項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發展史演變的實物見證.現準備投資建設20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設每個天坑院是否盈利是相互獨立的，據市場調研，到2020年底每個天坑院盈利的概率為
，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.
項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態、文化和人文地理于一體的自然山水景區.據市場調研，投資到該項目上，到2020年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種情況發生的概率分別為p和
.
（1）若投資項目一，記
為盈利的天坑院的個數，求
（用p表示）；
（2）若投資項目二，記投資項目二的盈利為
百萬元，求
（用p表示）；
（3）在（1）（2）兩個條件下，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項目，并說明理由.
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【題目】如圖數表：
每一行都是首項為1的等差數列，第
行的公差為
，且每一列也是等差數列，設第行的第
項為
.
（1）證明：
成等差數列，并用
表示（
）；
（2）當
時，將數列
分組如下：（
），（
），（
），…（每組數的個數構成等差數列）. 設前組中所有數之和為
，求數列
的前
項和
；
（3）在（2）的條件下，設
是不超過20的正整數，當
時，求使得不等式
恒成立的所有的值.
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