Question

已知函數f（x）=ax+

1-x

ax

（a＞0）
（1）利用函數單調性的定義，判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）求函數y=f（x）在（0，1]上的最小值g（a）

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）利用定義判斷函數f（x）在（0，

1

a

）上是減函數，在（

1

a

，+∞）上是增函數；
（2）由（1）得，討論a的取值，求出函數y=f（x）在（0，1]上的最小值即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=ax+

1-x

ax

=ax+

1

ax

-

1

a

（a＞0），
∴任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（ax₁+

1

ax1

-

1

a

）-（ax₂+

1

ax2

-

1

a

）=

(x1-x2)(a2x1x2-1)

ax1x2

；
又∵0＜x₁＜x₂，a＞0；
∴x₁-x₂＜0，
當0＜x₁＜x₂＜

1

a

時，a²x₁x₂-1＜0，∴f（x₁）＞f（x₂），f（x）是減函數；
當

1

a

＜x₁＜x₂時，a²x₁x₂-1＞0，∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）是增函數；
∴函數f（x）在（0，

1

a

）上是減函數，在（

1

a

，+∞）上是增函數；
（2）由（1）知，函數f（x）在（0，

1

a

）上是減函數，
在（

1

a

，+∞）上是增函數；
當

1

a

≥1時，即0＜a≤1，函數y=f（x）在（0，1]上的最小值是g（a）=f（1）=a；
當

1

a

＜1時，即a＞1；函數y=f（x）在（0，1]上的最小值是g（a）=f（

1

a

）=2-

1

a

；
綜上，函數y=f（x）在（0，1]上的最小值是g（a）=

a，0＜a≤1 2- 1 a ，a＞1

．

點評：本題考查了利用定義判斷函數的單調性問題，也考查了利用分類討論思想求函數的最值問題，是綜合性題目．