Question

若函數f（x）=x²-

1

2

lnx+1在其定義域內的一個子區間（a-1，a+1）內存在極值，則實數a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：求f（x）的定義域為（0，+∞），求導f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

；從而可得

1

2

∈（a-1，a+1）；從而求得．

解答： 解：f（x）=x²-

1

2

lnx+1的定義域為（0，+∞），
f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

；
∵函數f（x）=x²-

1

2

lnx+1在其定義域內的一個子區間（a-1，a+1）內存在極值，
∴f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

在區間（a-1，a+1）上有零點，
而f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

的零點為

1

2

；
故

1

2

∈（a-1，a+1）；
故a-1＜

1

2

＜a+1；
解得，

1

2

＜a＜

3

2

；
又∵a-1≥0，
∴a≥1；
故答案為：[1，

3

2

)．

點評：本題考查了導數的綜合應用及函數的零點的應用，屬于中檔題．